大学物理（下）

考点划重点

14：
场强、电磁场的叠加非常重要，借助于叠加原理出计算题、无限长细棒的结论死记住；
高斯定理和相关例题
电势差
电场中一个电荷做的功
均匀带电球面的电势
电势和场强的积分关系

15：
静电平衡的性质、导体上的电荷分布
有导体存在的时候电势的分布，非常典型的题目
电介质知道结论就行：高斯定理求出电位移，求电场强度即可
平板电容器的电容表达式
电容器的串并联知道结论
电场能量经常会考察

16：
电流强的定义式
等效电流怎么计算要求知道
欧姆定律
第二家伐定律及其应用
死记模型的结论
圆形电流在其圆心处
等等式子
螺旋管的结论记住
磁通量必考
安培定理，非常重要的考察内容
圆柱、
洛伦兹力
安培力
磁力矩的表达式
磁矩等于什么东西、方向如何规定
磁力做功
磁介质记结论和公式就行

19：
动生求解
感生电动势建议用法拉第电磁感应的角度来求解
自感
长直螺线管的自感系数

21：
一般不考速度变化

电磁学

真空中的静电场

绪论

基于库仑定律和场强叠加定理推出静电场的两个基本定理

• 高斯定理
• 静电场环路定理

两个描述电场性质的物理量

• 场强
• 电势

14.1 库仑定律

电荷量子化：任意带电体所带电荷量可用元电荷表示为
$q=ne(n\mathrm{为}\mathrm{整}\mathrm{数})$

$e=1.602\times {10}^{-19}C$

夸克虽然带有电荷为 $\pm \frac{1}{3}e$ 或者 $\pm \frac{2}{3}e$，但是夸克不会单独存在，所以不破坏电荷量子化的规律。

库仑定律的矢量表达式：

$\overrightarrow{F}=\frac{1}{4\pi \epsilon }\frac{q_1{q}_2}{r^2}\overrightarrow{e_r}$

另一种表达式：

$\overrightarrow{F}=\frac{1}{4\pi \epsilon }\frac{q_1{q}_2}{r^3}\overrightarrow{r}$，其中 $\overrightarrow{r}$ 为 $q_1$ 指向 $q_2$ 的矢量（$\overrightarrow{r}=r\cdot e_r$）。

注意 $F{12}$\mathrm{表}\mathrm{示}$q_2$\mathrm{对}$q_1$\mathrm{的}\mathrm{作}\mathrm{用}\mathrm{力},$e{12}$\mathrm{表}\mathrm{示}$q_2$\mathrm{指}\mathrm{向}$q_1$ 方向的单位矢量,$e_r$表示由施力点电荷指向受力点电荷的单位矢量

两电荷同电性则 $F{12}$\mathrm{和}$e{12}$ 同向。

${\epsilon }_0=8.85\times {10}^{-}12C^2{N}^{-1}{m}^{-2}$
称为真空电容率(真空介电常数)

运算Tips：$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}=9.0\times {10}^9$

14.2 电场 电场强度

场强叠加定理：点电荷系在空间某点产生的电场强度等于各个电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。

$$\overrightarrow{E}=\frac{F}{q_0}=\frac{F_1}{q_0}+\frac{F_2}{q_0}+\frac{F_3}{q_0}+\cdots +\frac{F_n}{q_0}=\sum _{i=1}^n\frac{F_i}{q_0}=\sum _{i=1}^n{E}_i$$

场强的计算

点电荷产生的场强：$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\overrightarrow{e_r}$

从点电荷系拓展到任意带电系统，使用微元法计算场强

$\overrightarrow{E}=\int dE=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\int dq}{r^2}\overrightarrow{e_r}$

关于矢量求和和矢量积分具体运算这回事

必须指出，矢量求和和矢量积分需要先转化为矢量分量的求和和积分，然后再转化为标量的求和和积分，最后再转化为该场点的场强大小与方向。

以直角坐标系为例，首先计算各个点电荷或者电荷元在该场点产生的场强的分量
$E{xi},E{yi},E_{zi}$\mathrm{或}\mathrm{者}$dE_x,dE_y,dE_z$,\mathrm{再}\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{求}\mathrm{和}\mathrm{或}\mathrm{者}\mathrm{积}\mathrm{分}，\mathrm{最}\mathrm{后}\mathrm{再}\mathrm{转}\mathrm{化}\mathrm{为}\mathrm{场}\mathrm{强}\mathrm{的}\mathrm{大}\mathrm{小}\mathrm{与}\mathrm{方}\mathrm{向}，\mathrm{即}$E=E_x i+E_y j+E_z k$

电荷密度

但是为了解决具体问题我们还需要引入电荷密度的概念。例如电荷体密度是电荷量与电荷所占空间体积的比值，即

• 电荷体密度：$\rho =\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }q}{\mathrm{\Delta }V}=\frac{dq}{dV}$

同样地，有

• 电荷面密度：$\sigma =\underset{\mathrm{\Delta }S\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }q}{\mathrm{\Delta }S}=\frac{dq}{dS}$
• 电荷线密度：$\lambda =\underset{\mathrm{\Delta }L\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }q}{\mathrm{\Delta }L}=\frac{dq}{dL}$

所以就有$\rho dV=dq$ 、$\sigma dS=dq$ 、$\lambda dL=dq$

电偶极子

两个相距很近，距离为$l$的等量异号的点电荷组成点电荷系，讨论场点$P$到两个点电荷的距离$r$远大于两个点电荷的距离，即$l<<r$的情况。

电偶极子的电距（电偶极矩）

电偶极子的电距（电偶极矩）：$\overrightarrow{p_e}=q\overrightarrow{l}$

电偶极子的电场强度

大概过程是将电偶极子看成两个点电荷，选定两点电荷连线中心O为坐标原点建立直角坐标系，然后使用场强叠加定理。

电偶极子的电场强度：$\overrightarrow{E}=\frac{-ql}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}\overrightarrow{i}=\frac{-\overrightarrow{p_e}}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$

其中$\overrightarrow{l}$的方向是从负电荷指向正电荷，$\overrightarrow{E}$的方向与之相反。

电偶极子的场强大小与电距的大小$|\overrightarrow{p_e}|$成正比。

$\overrightarrow{p_e}$是表征电偶极子性质的重要物理量。

并且电偶极子的场强与场点到电偶极子的距离的立方$r^3$成反比，也就是说与点电荷相比，电偶极子的场强随距离$r$增加衰减的更快。

例题

均匀带电的直细棒

• 总体计算步骤：$dE->d{E}_x,d{E}_y->E_x,E_y$
• 如果是求P点场强（课本例14-3）（课件例3），该点到两端点的连线夹角已经确定($\alpha 、\beta$)，l,x,a分别为细棒上微元到p点的距离、微元到原点的距离和p点到细棒的垂直距离。则注意到$r=acsc\theta$, $x=-\frac{a}{tan\theta }$, $dx=acs{c}^2\theta d\theta$,则有$$E_x=\int \frac{\lambda cos\theta }{4\pi {\epsilon }_{0}a}d\theta =\frac{\lambda cos\theta }{4\pi {\epsilon }_{0}a}(sin{\theta }_2-sin{\theta }_1)$$

$$E_y=\int \frac{\lambda sin\theta }{4\pi {\epsilon }_{0}a}d\theta =\frac{\lambda sin\theta }{4\pi {\epsilon }_{0}a}(sin{\theta }_2-sin{\theta }_1)$$

• 若棒为无限长，则$\alpha =0,\beta =\pi$，$E_x=0,E_y=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}a}$
• 某个方向例如 y 方向上的电场分量被抵消要显式地说明:”由对称性可知，$E_y=0$”
• 如果是求均匀带电的直细棒中垂线上的场强分布（课件例2），在中垂线上找某点P，距离原点的距离是r，细棒长度为2l。原理同上计算则得到对于中垂面上的场强分布面上距o点为r的场强大小均相等：$$E=\frac{1}{2\pi {ϵ}_{0}r}\frac{\lambda l}{\sqrt{r^2+l^2}}$$
• 细棒为无限长：$E=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{0}r}$
• r>>l: $E=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$(直线看作点电荷)

圆环

• 正电荷均匀分布在半径为R的圆环上，求环的轴线上任一点P（距离圆环圆心的距离为x）的电场强度（课件例3）

取圆环上长度为dl的一段微元，由对称性有$E_y=0$,$\lambda =\frac{q}{2\pi R}$,${\int }_0^{2\pi R}$.

• $E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qx}{(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}$
• 若$x>>R$，相当于点电荷;
• $x=0$,则E=0，也就是环心处场强为0；
• $\frac{dE}{dx}=0,\mathrm{有}x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}R\mathrm{时},E_p\mathrm{最}\mathrm{大}$

圆盘

• 课本例（14-5）（课件例4）
  二次微元法圆环带,半径为R，宽度为dR。带电圆盘可以看作是由许多同心的带电圆环组成的。
• 面密度$\sigma =\frac{dq}{dS}=\frac{q}{2\pi R^2}$,$dq=\sigma dS=\sigma 2\pi RdR$
• 借用圆环的结论,$d{E}_x=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dqx}{(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\sigma 2\pi RdRx}{(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{2{\epsilon }_0}\frac{\sigma RdRx}{(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}$
• 则$E=\int d{E}_x=\frac{1}{2{\epsilon }_0}{\int }_0^{R_0}\frac{\sigma RdRx}{(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}(1-\frac{x}{\sqrt{R_0^2+x^2}})$
• 若$R>>x$,$E=\frac{\omega }{2{\epsilon }_0}$，无限大均匀带电平面的电场强度，匀强电场。
• 若$x>>R$,近似点电荷，$E=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{x}^2}$
• tips:线量积分->角量积分

  外电场对电偶极子的力矩和取向作用(不看)

14.3 电场强度通量与高斯定理

电场强度通量

通过电场中某一个面的电场线数量叫做这个面的电场强度通量。
$\theta \mathrm{为}\mathrm{面}\mathrm{的}\mathrm{法}\mathrm{线}\mathrm{与}\mathrm{电}\mathrm{场}\mathrm{线}\mathrm{的}\mathrm{夹}\mathrm{角}，\mathrm{则}\mathrm{有}d{\mathrm{\Phi }}_e=EdScos\theta =\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}$

非均匀电场强度通量

$${\mathrm{\Phi }}_e={\int }_{s}d{\mathrm{\Phi }}_e={\int }_s\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}$$

高斯定理

在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以${ϵ}_0$.也就是

$${\mathrm{\Phi }}_e=\frac{q}{{ϵ}_0}$$

1. 通过闭合曲面的电场强度通量（E dS）和闭合曲面所包围的电荷代数和（q）之间的量值关系，而不是闭合面上场强(E)和闭合面内电荷之间的关系。
2. E 是内外电荷的合场强，但是电场强度通量是只决定于其所包围的电荷。闭合面外的电荷对通过闭合面的电场强度通量没有贡献，但是对闭合面上各点的电场强度是有贡献的，即闭合面上各点的电场强度是由闭合面内、外所有电荷共同激发的。

高斯定理的应用

对于电荷分布具有某种对称性（球对称、轴对称、面对称）的带电体场源组合，应用高斯定理能更简捷求空间场强分布。

选取高斯面

1. 高斯面上场强处处相等或分区域相等；
2. 或者部分高斯面上的通量为零，部分高斯面上的场强相等。

由于场强和面元方向相同，高斯定理矢量式相乘就等于标量式相乘。

例子（重要模型）

AAA均匀带电球壳的电场强度(课本例题14-9)

• 0<r<R: $E=0,{\int }_s\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}=0$(静电平衡)
• r>R: $E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$(重要！)

AAA均匀带电球体的场强分布(课本例题14-10)（14-29用到了）

• 电荷体密度：$\rho$，球体半径：R
• 球内外之别主要在于电荷量的不同
• 球外某点：$q=\rho \frac{4}{3}\pi R^3,E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=\frac{\rho R^3}{3{\epsilon }_0{r}^2}(r>=R)$(重要！)
• 球内某点的场强：$E=\frac{qr}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}=\frac{\rho r}{3{\epsilon }_0}(r<R)$(重要！)
• $\rho$与密度有关

AAA无限长均匀带电直线的空间电场强度分布（课本例14-11）（14-21用到了）

轴对称，选取闭合的柱形高斯面

• $${\int }_{\mathrm{柱}\mathrm{面}}+{\int }_{\mathrm{上}\mathrm{底}}+{\int }_{\mathrm{下}\mathrm{底}}={\int }_{\mathrm{柱}\mathrm{面}}$$
• 线密度：$\lambda$，柱面半径：r
• 柱形高斯面的侧面积
• $$2\pi rhE=\frac{\lambda h}{{ϵ}_0}$$
• $$E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$$

AAA无限大均匀带点平面（课本例14-12）

对称性分析：垂直平面选取闭合柱形高斯面

• $${\int }_{\mathrm{柱}\mathrm{面}}+{\int }_{\mathrm{上}\mathrm{底}}+{\int }_{\mathrm{下}\mathrm{底}}=2{\int }_{\mathrm{上}\mathrm{底}}$$
• 面密度：$\sigma$，柱面半径：r
• 柱形高斯面的上下底面积
• $$2S^{\prime }E=\frac{\sigma S^{\prime }}{{ϵ}_0}$$
• $$E=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}$$

有限长均匀带电直线的空间电场强度分布（14-15用到了）

直接硬解积分应该会比较难搞。如果是这个类型的话不妨记一下抽象的推导结论或者用角度积分，先别用距离表示出来。

均匀带电圆盘

• 一般地，$E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}(1-\frac{X}{\sqrt{X^2+r^2}})$
• 当R>>x时，$E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$(可以看成无穷大的均匀带电平板)

14.4 静电场的环路定理 电势

静电场力所做的功

$$dA=q_0\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}$$$$dA=q_0\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}dlcos\theta$$$$dA=q_0\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}dr$$$$A=\frac{q_{0}q}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_{r_a}^{r_b}\frac{dr}{r^2}$$

• 在点电荷激发的静电场中，静电场是保守场，静电力是保守力。静电场力所做的功就等于电荷电势能增量的负值。

  环路定理

  因为静电力是保守力，所以静电力做的功只与起点和终点有关，跟具体的路径无关。因此环路的做功为 0.

  电势能

  同属保守力，静电力可以类比重力。静电力做的功等于做功过程中电势能的增量的负值

$$A=-(W_b-W_a)=W_a-W_b={\int }_a^b{q}_0\overrightarrow{E_r}\cdot d\overrightarrow{l}$$

电势

电势是标量，但是有正负。单位是伏特（V）。

电势是相对的，通常选择无限远处的电势为零点。

$$U_a={\int }_a^{\text{infin}}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}$$

电势差

两点之间的电势差等于两点之间的电场强度沿着连接两点的路径的线积分。

静电场中a和b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移动到b点时电场力所做的功。

$$U_{AB}=U_A-U_B={\int }_A^B\overrightarrow{E_r}\cdot d\overrightarrow{l}$$$$U={\int }_r^{\infty }\overrightarrow{E_r}\cdot d\overrightarrow{l}$$

计算电场力做功常用的公式：

$$A_{ab}=q_0(U_a-U_b)=q_0{U}_{ab}$$

• 点电荷的电势：$U=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$

  电势叠加原理

  点电荷系电场中任一点电势等于各点电荷单独存在的时候同一场点所产生的电势的代数和。

电势的计算

点电荷系：

$$U=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^n\frac{q_i}{r_i}$$

两种方式(当电荷连续分布的时候)：

1. 场强和电势之间的积分关系$$U_A={\int }_A^{\infty }\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}$$
2. 电荷的电势叠加原理$$U=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{dq}{r}$$

矢量运算退化为标量运算

Tips:第十五章可能在用叠加原理求解电势的时候可能就出错了。那时候推荐用场强和电势之间的积分关系求解。

均匀带电细圆环

半径为R，求距离环轴线上距离环心为 x 处的点 p 的电势。$U=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{dq}{r}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0\sqrt{x^2+R^2}}$

• $x=0:U=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}R}$
• $x>>R:U=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}x}$

均匀带电球面，电荷为 Q，半径为Ｒ

• $0<r<R:E=0,{\int }_s\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}=0$(重要！)
• $r>R:E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$(重要！)
• $0<r<=R:U=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}$
• $r>=R:U=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$
• 球面外两点的电势差

$$r>R, \quad U_{A}-U_{B}=\int_{r_{A}}^{r_{B}} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{r}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{r_{A}}^{r_{B}} \frac{\mathrm{d} r}{r^{2}} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r_{A}}-\frac{1}{r_{B}}\right)$$

• 球面内两点的电势差

  $$r<R,U_A-U_B={\int }_{r_A}^{r_B}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=0$$

• 球面外任意点的电势

  $$r>R,\mathrm{令}{r}_b=\text{infin},U_b=0，\mathrm{则}\mathrm{有}{U}_A-U_B={\int }_{r_A}^{r_B}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B})=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$$

• 球面内任意点的电势

  $$r<R,{\int }_r^R\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{r}+{\int }_R^{\infty }\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{r}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}$$

同心均匀带电球面（14-32用到了）

• 巧记：求电势，分母的距离谁大取谁
  

  非均匀分布的带电球面的球心的电势

  $$\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}$$

一对无限长的共轴直圆桶

【这个做题真遇到了再来说吧】

电偶极子在外电场中的电势能和平衡位置（不看）

电场强度和电势梯度

场强E可以写成：$\overrightarrow{E}=E_x\overrightarrow{i}+E_y\overrightarrow{j}+E_z\overrightarrow{k}=-(\frac{\partial U}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial U}{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial U}{\partial z}\overrightarrow{k})=-\mathrm{\nabla }U$$
电场中某点的场强等于该点电势梯度的负值.

按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等，即等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小．

方法总结

对于电场中任一点，场强的计算三种方法

1. 根据叠加原理通过积分(求和) 得到。（注意具体计算是采用分量积分）
2. 由高斯定理计算
   （主要解决具有空间对称性的场强计算，其关键步骤在于分析对称性，选取合适的高斯面）
3. 由 E=-gradU 计算

   对于电势计算主要有两种方法

4. 由叠加原理积分计算
5. 无穷远处为电势零点积分

15章静电场中的导体

静电平衡的导体具有以下三种性质

1. 导体内部场强处处为零
2. 导体表面场强垂直于导体表面
3. 导体为等势体
4. 导体内部无净电荷，电荷分布在外表面上

表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比，$E=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}$

• 细导线相连的两个金属球表面的电荷面密度与球面半径成反比，$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}=\frac{R_2}{R_1}$
• 两块导体平板各个表面的电荷密度(课本例题15-2，课件)
  • 首先根据电荷守恒条件列出电荷密度的方程
  • 金属板内一点的场强是4个带电面的电场的叠加，由此联立
  • ${\sigma }_1={\sigma }_4=\frac{q_1+q_2}{2S}$
  • ${\sigma }_2=-{\sigma }_3=\frac{q_1-q_2}{2S}$
  • 如果把第二块金属板接地，这块金属板右表面的电荷面密度为零，左表面的电荷面密度为${\sigma }_2=-{\sigma }_3=\frac{q_1-q_2}{2S}$,${\sigma }_1={\sigma }_4=0$
• 内外半径分别为R2R3的导体球壳内有一个半径为R1的同心导体小球。带电都为q.
  • 电荷+q分布在内球表面。球壳内表面带电荷-q，球壳外表面带电荷2q
• 在一接地导体球附近，有一电量为q的点电荷，q距离导体球球心的距离为r，球半径为R,求导体球上的感应电荷的电量
  • 接地就意味着导体球的电势为0，列出方程即可得到感应电荷和点电荷电量的关系。
• 在一不接地导体球附近，有一电量为q的点电荷，q距离导体球球心的距离为r，球半径为R,求金属球面上的感应电荷总量q’以及感应电荷在距离球心o为l处的p点产生的电势。
  • 感应电荷总量q’由于电荷守恒，肯定为0，但是在金属球面上的正负电荷分布肯定也是不均匀的，所以感应电荷对P的电势就不好求。
  • 因此考虑利用静电平衡等势体的性质，先求球心的电势，也就等于P点的电势，再减去容易求的点电荷对P点的电势，就能求出感应电荷对P点的电势。

电介质及其极化过程

• 电介质的极化：在外电场的作用下，介质表面产生电荷的现象
• 电极化强度P
• 极化电荷面密度${\sigma }^{\prime }=P\cos \theta$

电极强度矢量P

为了描述电介质的极化状态，可以用电介质内某处的单位体积内的电偶极矩的矢量和来描述，称为电极强度，记作P，即

$$\overrightarrow{P}=\frac{\sum \overrightarrow{P_e}}{\mathrm{\Delta }V}$$

如果电介质中各点的电极化强度的大小和方向都相同，则称电介质为均匀电介质，否则称为非均匀电介质。

当外电场不太强时，各向同性电介质中某处的电极化强度与该处的电场强度成正比，即:

$$\overrightarrow{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\overrightarrow{E}$$

其中比例系数${\chi }_e$称为电介质的电极化率，仅与电介质的性质有关，与场强无关。

${ϵ}_r=1+{\chi }_e$称为电介质的相对介电常数。
$ϵ={ϵ}_0{ϵ}_r$称为电介质的介电常数。

无论有极分子还是无极分子，均匀电介质表面上产生的极化电荷面密度等于该处电极化强度言表面外法线方向的投影。如果夹角$\theta$为锐角则该处出现正极化电荷，如果为钝角则为负极化电荷。

电介质存在的时候高斯定理仍然成立：

$${\oint }_s\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum _{s_{\mathrm{内}}}(q_0+q^{\prime })$$

电位移D

定义一个描述电场的辅助量，称为电位移矢量D，它的定义为
$D={\epsilon }_{0}E+P$

介质中的高斯定理

通过电介质中的任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的全部自由电荷代数和，即把介质中的高斯定理描述为：

$${\text{oiint}}_s\overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{S}=\sum _{s_{\mathrm{内}}}{q}_0$$$$D={\sigma }_0$$

有介质时静电场的计算

1. 根据介质中的高斯定理求出电位移矢量${\oint }_S\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}=\sum q_i$
2. 根据电场强度与电位移矢量的关系求出电场强度$\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{D}}{ϵ}$(只适用于各向同性的均匀介质)
3. $E=\frac{E_0}{{ϵ}_r}$

   电介质中的环路定理

   电介质中的任意闭合回路的电场强度环路积分等于该闭合回路所包围的全部自由电荷代数和，即
   ${\oint }_l\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=0$

电容器及其电容

电容的物理意义：导体每升高单位电势，所需要的电量

• 孤立导体的电容：$C=\frac{Q}{V}$，其中V是电势
  电容器的电容：$C=\frac{Q}{U}$，其中U是电势差
• 平行板电容器$C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}$,介质电容器电容是真空电容的${ϵ}_r$倍
• 球形电容器$C=\frac{4\pi {\epsilon }_0{R}_1{R}_2}{R_2-R_1}$
• 圆柱形电容器$C=\frac{2\pi {\epsilon }_{0}l}{\ln \frac{R_2}{R_1}}$

电容器的串联和并联

电容器串联(增强耐压)：$C=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$
电容器并(增大电容)：$C=C_1+C_2$

电场的能量

• 平行板电容器的电能：$W=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$
• 电场能量密度：$w_e=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2=\frac{1}{2}ED$
• 电场空间所存储的能量：$W_e={\int }_v{w}_{e}dV={\int }_V\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^{2}dV$

球形电容器内外径分别为R1、R2，所带电荷为Q（课件例2）

• $w_e=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2=$
• $W_e=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{4\pi {\epsilon }_0\frac{R_2{R}_1}{R_2-R_1}}$
• $W_e=\frac{Q^2}{2C},C=4\pi \epsilon \frac{R_2{R}_1}{R_2-R_1}(\mathrm{球}\mathrm{形}\mathrm{电}\mathrm{容}\mathrm{器}\mathrm{电}\mathrm{容})$
• R_2->\infin, $W_e=\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_0{R}_1}(\mathrm{孤}\mathrm{立}\mathrm{导}\mathrm{体}\mathrm{球}\mathrm{贮}\mathrm{存}\mathrm{的}\mathrm{能}\mathrm{量})$

16章恒定磁场

16.1 稳恒电流

电流 电流密度

电流：$dI=qnudlS$
电流（面）密度矢量：$j=\frac{dI}{dS}=qnu$

如果截面元的面积矢量与电流矢量的夹角为$\theta$，则有$dI=jdS\cos \theta =\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS}$

• 载流子密度：n
• 载流子速度：u
• 电流强度I：通过截面S的电荷q随时间t的变化率

电流的连续性方程和恒定条件

单位时间内通过闭合曲面向外流出的电荷，等于此时间内闭合曲面内电荷的减少量.

恒定电流：导体内电流密度不随时间变化的电流。

欧姆定律

电阻的倒数称为电导，用G表示，单位是西门子（S）。

电阻：$R=\int \rho \frac{dl}{S}$

电阻率：$\rho$，电导率：$\sigma =\frac{1}{\rho }$

其他概念补充

• 非静电力: 能不断分离正负电荷使正电荷逆静电场力方向运动.
• 电源：提供非静电力的装置.
• 非静电电场强度：为单位正电荷所受的非静电力.
• 电动势的定义：单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时非静电力所做的功.

  欧姆定律的微分形式

  $$\frac{dI}{dS}=\frac{1}{\rho }\frac{dU}{dl}=\frac{1}{\rho }E=\sigma$$$$\overrightarrow{j}=\sigma \overrightarrow{E}$$

16.2 磁场与磁感应强度

磁感强度B的定义

• 方向：当正电荷垂直于特定直线运动时，受力 $F_{m}ax$ 将 $F_{m}ax\times v$ 方向定义为该点的$\overrightarrow{B}$的方向.
• 磁感强度大小：$B=\frac{F_{max}}{qv}$
• 单位：特斯拉（T）$1T=1\frac{N}{A\cdot m}$
  运动电荷在磁场中受力的大小：$\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$

  磁感线

  规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感强度 B 的方向，与电流成右手螺旋关系（直电流方向拇指/圆电流方向四指）。曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.

  16.3 毕奥-萨伐尔定律

  真空磁导率：${\mu }_0=4\pi \times {10}^{-7}N\cdot A^{-}2$

电流元在空间产生的磁场
$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\sin \theta }{r^2}$

电流元在空间产生的磁场的矢量形式
$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r}}{r^3}$

其中$\theta$为电流元的电流方向与磁场方向的夹角。

积分：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}(\sin {\beta }_2-\sin {\beta }_1)$

• 若P点在直电流延长线上，则B=0;
• 若直线电流无限长，则${\beta }_1=-\frac{\pi }{2},{\beta }_2=\frac{\pi }{2},B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$;
• 若P在半无限长直线电流一端的垂线上，$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}$

  直导线（课本例16-5）

• 直导线的磁场强度：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}(sin{\beta }_2-sin{\beta }_1)$
• 无限长载流直导线：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$
• 半无限长载流直导线：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}$
• 载流直导线延长线上一点：$B=0$

  圆形电流磁场公式

  $B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(x^2+R^2{)}^{3/2}}$，x为距离圆心的距离。

若是N匝线圈，则有 $B=\frac{N{\mu }_{0}I{R}^2}{2(x^2+R^2{)}^{3/2}}$

推广下列情况的磁场强度：

• 全圆圆心处（x=0）：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$
• 半圆圆心处（x=0）：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4R}$
• 1/4圆弧圆心处（x=0）：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{8R}$
• 同心半圆弧圆心处（x=0）：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4R_1}-\frac{{\mu }_{0}I}{4R_2}$
• 90°垂线：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi d}$,d为距离顶点的距离

  磁偶极矩（圆电流和螺线管相关）

$\overrightarrow{m}=IS{\overrightarrow{e}}_n$，$\overrightarrow{m}$方向与圆电流单位正法矢${\overrightarrow{e}}_n$ 的方向相同。

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0\overrightarrow{m}}{2\pi x^3}$

有限长的螺线管在中心轴线上的磁场

$B=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}(\cos {\beta }_2-\cos {\beta }_1)$

无限长的螺线管在中心轴线上的磁场

${\beta }_1=\pi ,{\beta }_2=0$,
$B={\mu }_{0}nI$

半无限长螺线管的一端

${\beta }_1=\frac{\pi }{2},{\beta }_2=0$,
$B=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}$

运动电荷的磁场（转起来形成圆电流，微元是圆环带）

重要例题？？？？困惑

例4 半径为R的带电薄圆盘的电荷面密度为$\sigma$，并以角速度$\omega$绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，求圆盘中心的磁感强度。

• 法一(圆电流的磁场)：
  回到电流的定义，圆环带微元形成的电流元是单位时间内移动的圆环带单位面积上的电荷量。

$$dI=\frac{\omega }{2\pi }\sigma 2\pi rdr$$$$d{B}_0=\frac{{\mu }_{0}dI}{2r}=\frac{{\mu }_0\sigma \omega }{2}dr$$$$B_0=\frac{{\mu }_0\sigma \omega }{2}{\int }_0^{R}dr=\frac{{\mu }_0\sigma \omega }{2}R$$

• 法二（运动电荷的磁场）：
  已知：$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{r}}{r^3}$$则:$$d{B}_0=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{dqv}{r^2}$$$$dq=\sigma 2\pi rdr$$$$B_0=\frac{{\mu }_0\sigma \omega }{2}{\int }_0^{R}dr=\frac{{\mu }_0\sigma \omega }{2}R$$

16.5 磁场的高斯定理和安培环路定理

磁通量 磁场的高斯定理

${\oint }_S\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S}=0$
物理意义：通过任何闭合曲面的磁通量等于零（磁场无源）。

重要例题

安培环路定理

无限长载流直导线的磁感强度：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$
设闭合回路l为圆形回路，半径为r，则有：${\oint }_l\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_{0}I$
若回路绕向化为逆时针，则$-{\mu }_{0}I$

注意，例如在求无限长载流圆柱体内的磁场的时候，$r<R$, 则有：${\oint }_l\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_0\frac{\pi r^2}{\pi R^2}I$（详见例题部分）

电流在回路之内

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

环路积分：${\oint }_{l}B\cdot$

顺时针为正，逆时针为负。

对任意形状的回路，若l与I形成右手/反右手螺旋关系：

$${\oint }_l\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}r{\oint }_{l}d\theta =\pm {\mu }_0{I}_l$$

结论：与环路形状无关，只和方向、大小有关。

电流在回路之外

$B_1=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r},B_2=-\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r},B=0$

也就是说磁场和环路之外的电流无关。

多电流情况

$$\oint \overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}={\mu }_0\sum _{i=1}^n{I}_i$$

（忽略环路之外的电流，取环路内电流正方向上的代数和）
电流I 正负的规定：I与L环路方向成右螺旋时，I为正；反之为负。

例题

1. 无限长载流圆柱体的磁场（考试最大可能性出现的题）

   对称性分析+选取回路。

   合适的闭合回路：回路上B处处相等；

   圆柱体相当于无限条直导线，某点P的磁场分布跟其距离圆柱轴线的距离r有关。以r为半径画出圆周L作为闭合回路。R为圆柱半径。

   • $r>R$: $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

   • $r<R$: 电流只有部分通过圆周L，$I^{\prime }=I\frac{\pi r^2}{\pi R^2}$

   • $\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_0\frac{\pi r^2}{\pi R^2}I$

   • $B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi R^2}$

     如果画一个B-r图，就跟那个导体球的E-r图一样，有一个拐点，拐点就是圆柱体表面的磁场强度。

2. 无限长载流圆柱面的磁场

   和1的区别是，圆柱面内部（$r<R$时）的磁场强度是0。

   • $r>R$时，$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$
   • $0<r<R$时，$B=0$

3. 求长直密绕螺线管内外的磁场

   L>20R则可当作无限长处理，此时对称性分析螺旋管内为均匀长，方向沿轴向，处处相等；外部磁感强度则趋于零。

   螺线管内是水平均匀场的证明：方向旋转不变性

   单位长度匝数n;

   选回路之后根据对称性、管外以及等号两边相同的量的一系列抵消，最终有$B={\mu }_{0}nI$

4. 求载流螺绕环内的磁场

   对称性分析：环内磁感线为同心圆，环外为0。

   回路选取：环内的磁场强度为0，环外的磁场强度为$\frac{{\mu }_{0}nI}{2\pi r}$

5. 无限大均匀带电（线密度为i）平面的磁场

   作安培环路穿过平面。

   $${\oint }_l=\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=2{\int }_a^{b}Bdl=2B\overrightarrow{ab}$$$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2}$$

17章 磁场对电流的作用

磁场对运动电荷的作用

洛伦兹力

$$\overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})$$

带电粒子在均匀磁场中的运动

高中物理的那些模型和公式依然能适用。

• 回旋半径：$R=\frac{mv}{qB}$
• 回旋周期：$T=\frac{2\pi m}{qB}$
• 速度选择器：$v=\frac{E}{B}$
• 质谱仪：$x=2R=\frac{2mv}{q{B}_0}=\frac{2mE}{q{B}_{0}b}$
• 回旋加速器：到半圆盒边缘的时候，$v=\frac{qB{R}_0}{m}$;$f=\frac{qB}{2\pi m}$(频率与半径无关)
• 霍尔效应:$U_H=\frac{IB}{nqd}

  磁场对载流导线的作用

  安培力

  $$d\overrightarrow{F}=Id\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$$

  均匀磁场对载流线圈的作用

  重要结论

  力偶矩=力臂×力，对于大小相同方向相反但是作用力不在同一直线上的两个力构成的力偶，力偶矩的大小：$M=IBS\cos \theta =IBS\sin \phi$,S是线圈的面积。

如果线圈有N匝，则力偶矩为：$M=IBNS\sin \phi$，$\phi$为磁场方向与线圈法线方向的夹角。

我们把这部分由线圈决定的量称为磁矩，用$p_m$表示。也就有磁矩：$p_m=NIS{e}_m$，$e_m$是线圈的法线方向(如果是z轴上的单位向量，可以用$\overrightarrow{k}$表示)；M=p_m\times B$

圆环的磁矩$\overrightarrow{P_m}=IS{\overrightarrow{e}}_n=I\pi R^2{\overrightarrow{e}}_n$

磁力矩：$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{P_m}\times \overrightarrow{B}$

磁力做功：

1. 载流导线在磁场中运动时磁场力的功：$$A=I\mathrm{\Delta }\Phi$$ 如果电流不变，磁力做得功等于电流和磁通量增量的乘积。
2. 载流线圈在磁场中转动时磁场力的功：$$A=I\mathrm{\Delta }\Phi$$ 在均匀磁场中，对任意闭合的载流线圈，无论是形状改变还是位置改变，磁场力或者磁力矩做的功等于线圈电流和磁通量增量的乘积。

18章 磁介质

18.1 磁介质及其磁化

磁介质及其分类

在磁场作用下发生变化并且能够反过来影响磁场的物质称为磁介质。

磁介质的相对磁导率${\mu }_r$。$\mu ={\mu }_0\cdot {\mu }_r$为磁介质的磁导率。

• 抗磁质：${\mu }_r<1$
• 顺磁质：${\mu }_r>1$
• 铁磁质：${\mu }_r>>1$

分子磁矩

电子的轨道磁矩${\mu }_l=-\frac{e}{2m_e}L$

电子的自旋磁矩${\mu }_s=-\frac{e}{m_e}S$,其中S是电子的自旋角动量。

磁介质中一个分子的磁矩是其中所有电子的轨道磁矩、自旋磁矩和核的自旋磁矩的矢量和，称为分子的固有磁矩，简称分子磁矩。

分子的附加磁矩

磁介质中每个分子内的所有电子或核都会产生和外磁场方向相反的附加磁矩。一个分子所有的附加磁矩矢量和就是该分子的附加磁矩。$\sum \mathrm{\Delta }{\mu }_l$分子附加磁矩的方向总是与外磁场方向相反。

顺磁质与抗磁质的磁化

顺磁质分子的固有磁矩不为0，但是整体由于分子热运动杂乱无章，顺磁质在外磁场作用下，顺磁质中的分子会产生附加磁矩，使顺磁质整体表现出顺磁性。顺磁质的磁化方向总是与外磁场方向相同。这叫取向磁化，这个现象也叫顺磁效应。

抗磁质外加磁场不会产生磁矩，固有磁矩保持为0.唯一产生的是附加磁矩，抗磁质的磁化方向总是与外磁场方向相反。这叫反向磁化，这个现象也叫抗磁效应。故抗磁质中总磁感应强度总是小于外磁场的磁感应强度。

磁化强度和磁化电流

磁介质单位体积内所有分子磁矩的矢量和称为磁化强度，记作$\overrightarrow{M}$，单位是A/m。

$$M=\frac{\sum {\mu }_l+\sum \mathrm{\Delta }{\mu }_l}{\mathrm{\Delta }V}$$

根据顺磁质和抗磁质的不同，又会有各自不同的表达式。

磁化电流和传导电流的区别

磁化电流在磁效应方面与传导电流是相当的，也可以激发磁场，但是没有热效应。

磁化电流密度

磁介质表面未被抵消的环形电流称为磁化电流$I^{\prime }$，沿着同一方向流动。

沿着轴线单位长度上的磁化电流称为磁化电流密度，记作$\overrightarrow{j_m}$，单位是A/m^2。

被均匀磁化的均匀磁介质中的某点的磁化强度的大小等于磁化电流密度。

磁介质内磁化强度在任意闭合回路的积分，即M环流等于穿过闭合回路所包围面积的磁化电流的代数和。

$${\oint }_l\overrightarrow{M}\cdot d\overrightarrow{l}=\sum _{s_{\mathrm{内}}}{I}^{\prime }$$

磁介质中的高斯定理与安培环路定理

磁介质中的高斯定理

磁介质任意一点的磁感应强度是传导电流和磁化电流产生的磁场强度的矢量和，即

$${\oint }_{S}B\cdot dS={\oint }_S(B_0+B^{\prime })\cdot dS=0$$

磁介质中的安培环路定理

磁介质中任一点的磁感应强度B应为传导电流I和磁化电流I_m产生的磁场强度的矢量和，所以磁介质中的安培环路定理可以写作

$${\oint }_l\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_0\sum _{l_{\mathrm{内}}}(I+I^{\prime })$$

类似于静电场中引入电位移矢量D，磁场中引入辅助矢量——磁场强度H，称为磁场强度，定义为：

$$H=(\frac{B}{{\mu }_0}-M)$$

于是

$${\oint }_{L}B\cdot dl={\mu }_0\sum I+{\mu }_0\oint M\cdot dl$$

可以写成

$${\oint }_{L}H\cdot dl=\sum I$$

无磁介质的时候，M=0，式子还原为磁场的安培环路定理。

重要例题：无限长圆柱直导线，外面套了一层磁介质

19章 电磁感应

感生电动势

动生电动势

近代物理

20麦克斯韦方程组(不考)

21狭义相对论

洛伦兹坐标变换

假设S’系相对于S系沿x轴正方向以速度v运动。一般规定从S到S’是正变换，从S’到S是逆变换。

时间、空间变换

正变换S->S’

$$x^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$$$y^{\prime }=y$$$$z^{\prime }=z$$$$t^{\prime }=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

逆变换S’->S

$$x=\frac{x^{\prime }+v{t}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$$$y=y^{\prime }$$$$z=z^{\prime }$$$$t=\frac{t^{\prime }+\frac{v}{c^2}{x}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

退化

由上式可知，当$v<<c$时，上式退化为经典的伽利略变换。与伽利略变换相比，洛伦兹变换中的是假作饱和空间坐标相互关联，这表明在狭义相对论中时间和空间测量不能互相分离。因此在相对论中一般把一个时间发生的位置和时刻联合起来，成为四维时空坐标。

速度变换

正变换S->S’

$$u_x^{\prime }=\frac{u_x-v}{1-\frac{v{u}_x}{c^2}}$$$$u_y^{\prime }=\frac{u_y\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v{u}_x}{c^2}}$$$$u_z^{\prime }=\frac{u_z\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v{u}_x}{c^2}}$$

根据相对性原理，将v变为-v，带撇的量和不带撇的量互换，即可得到逆变换。值得注意的是，后面两个速度分量的变换方式和x分量的变换方式不同。

同时的相对性

• 如果在一个惯性系中同时同地发生的事件，在另一个惯性系中也同时同地发生。
• 如果在一个惯性系中同时不同地发生的事件，在另一个惯性系中并不是不同时发生的。

  钟慢效应和尺缩效应

  钟慢效应

  钟慢效应是相对的，即相对于静止的钟，运动的钟变慢，相对于运动的钟，静止的钟变慢。钟慢效应是指在相对论中，运动钟的走时比静止钟的走时慢。

  尺缩效应

  尺缩效应是指在相对论中，运动尺的长度比静止尺的长度要短。通常把与杆相对静止的惯性参考系中的长度称为固有长度$l_0$,在其他沿着杆长度方向运动的惯性参考系中的长度称为运动长度$l$。在相对论中，运动长度$l$小于固有长度$l_0$，即$l<l_0$。$$l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$顺便指出，如果杆沿y’或者z’轴放置，有y=y’或者z=z’，则$l=l_0$，不会缩短。也就是说，y、z方向的长度是常量，涉及到夹角变化的题可以利用这一点来解题。

  相对论动力学

  质量变换

  $$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

  相对论动力学的基本方程

  $$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}=m_0\frac{\overrightarrow{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

狭义相对论中力的作用凶过不仅使质点的运动加速，同时也改变质点的质量。

$$\text{You can't use 'macro parameter character \#' in math mode}$$

再把$E=E_K+E_0$代入上式，得到$E_K^2+2E_K{m}_0{c}^2=p^2{c}^2$

22早期量子论

能量子与光量子

热辐射 黑体辐射

• 热辐射：物体内的分子原子受到热激发而发射电磁波的现象。辐射波的能量击中的波长范围随温度而不同。
• 辐射出射度$M(T)$：单位时间单位面积上辐射的各种波长电磁波的总能量。$M(T)=\int{0}^{\infin}M{\lambda}(T)d\lambda$
• 单色辐射出射度$M_{\lambda }(T)$：单位时间内从物体单位表面积发出的波长在$\lambda$附近区单位波长区间的电磁波的能量。
• 单色吸收率$\alpha (\lambda ,T)$：温度为T时，物体吸收的在$\lambda \lambda +d\lambda$区间内的能量与该区间内入射的总能量之比。
• 黑体：能够完全吸收照射到它上面的各种频率的电磁辐射的物体称为黑体（理想模型）。
• 基尔霍夫定律：在相同温度下，所有物体对相同波长的单色辐出度和单色吸收率的比值都相等。$\frac{M_{\lambda }(\lambda ,T)}{\alpha (\lambda ,T)}$

斯特盘-玻尔兹曼定律 维恩位移定律

• 斯特藩-玻尔兹曼定律：单色辐射出射度$M{\lambda}(T)$\mathrm{与}\mathrm{温}\mathrm{度}T\mathrm{的}\mathrm{四}\mathrm{次}\mathrm{方}\mathrm{成}\mathrm{正}\mathrm{比}。$M{\lambda}(T)=\sigma T^4$
• 维恩位移定律：单色辐射出射度$M{\lambda}(T)$\mathrm{的}\mathrm{波}\mathrm{长}$\lambda{max}$\mathrm{与}\mathrm{温}\mathrm{度}T\mathrm{成}\mathrm{反}\mathrm{比}。$\lambda_{max}=\frac{b}{T}$,\mathrm{其}\mathrm{中}b\mathrm{为}\mathrm{维}\mathrm{恩}\mathrm{位}\mathrm{移}\mathrm{常}\mathrm{数}，$b=2.898\times 10^{-3}m\cdot K$

  普朗克辐射定律 瑞利-金斯公式

• 普朗克辐射定律：单色辐射出射度$M{\lambda}(T)$\mathrm{与}\mathrm{波}\mathrm{长}$\lambda$\mathrm{的}\mathrm{关}\mathrm{系}。$M{\lambda}(T)=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}$,\mathrm{其}\mathrm{中}k\mathrm{为}\mathrm{玻}\mathrm{尔}\mathrm{兹}\mathrm{曼}\mathrm{常}\mathrm{数}，$k=1.38\times 10^{-23}J\cdot K^{-1}$
• 瑞利-金斯公式：单色辐射出射度$M{\lambda}(T)$\mathrm{与}\mathrm{波}\mathrm{长}$\lambda$\mathrm{的}\mathrm{关}\mathrm{系}。$M{\lambda}(T)=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}$,\mathrm{其}\mathrm{中}k\mathrm{为}\mathrm{玻}\mathrm{尔}\mathrm{兹}\mathrm{曼}\mathrm{常}\mathrm{数}，$k=1.38\times 10^{-23}J\cdot K^{-1}$

光电效应

光电效应的实验规律

• 单位时间内从阴极逃逸的光电子数与入射光的强度成正比，与入射光的频率无关。
• 光电流的大小正比于单位时间内从阴极逸出飞到A极的光电子数
• 光电子的初能量与入射光的频率有光，而与入射光的强度无关。
• 截止电压与入射光频率成线性关系。$U_c=kv-U_0$
• $\frac{1}{2}m{v}^2=e{U}_c$
• $A=e{U}_0$
• $v_0=\frac{A}{h}$称为红限频率
• 只有入射光频率高于红限频率时，才能发生光电效应。无时间延迟
• 每一个光子所带能量：$hv=\frac{1}{2}m{v}^2+e{U}_0$，其中$\frac{1}{2}m{v}^2=e{U}_s$，$U_s$是阴极与A极的电压差，$e{U}_0$是光电子的逸出功。
• 动量：$p=mc=\frac{hv}{c}=h/\lambda$。
• h=6.626×10^-34J·s为普朗克常数

  康普顿效应

  当X射线被物质散射时，散射光中不仅有与入射光相同的波长的光，还有波长变长的光。这种现象称为康普顿效应。

  康普顿效应的实验规律

• 对于原子量较小的散射物质，康普顿散射较强
• 波长的改变量与散射角有关，随着散射角的增大而增大
• 对不同的原子量较少的散射物质，只要在同一个散射角下，波长的改变量都相同
• 康普顿公式：${\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{m_{0}c}(1-cos\theta )={\lambda }_c(1-cos\theta )$,其中${\lambda }_c=\frac{h}{m_{0}c}=0.0024nm$称为康普顿波长。计算的时候要注意单位，光速是m/s，质量是kg，结果算出来是m，转化为nm。

结论

• 波长改变量与散射角有关
• 波长改变量与波长无关
• 波长改变量与物质无关

  玻尔的氢原子理论

• 电离能：电子从原子中完全脱离所需的最小能量（定态到自由态所需的最小能量）
• 基态能量：$E_1=-13.6eV$
• 激发态能量：$E_n=E_1/n^2$
• 量子跃迁时会发射或者吸收光子，光子的频率为：$v=\frac{|E_n-E_k|}{h}$
• 量子化条件：在电子绕核做圆周运动的过程中，电子的角动量$L$必须是$\frac{h}{2\pi }$的整数倍，即$mvr=n\frac{h}{2\pi }$,其中n为量子数，取值为1,2,3…
• 计算巴尔默线系的数量经验公式：$\frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{4}-\frac{1}{n^2})$,R为里德堡常数，$R=1.097\times {10}^7{m}^{-1}$
• 电子伏特单位转换为J乘上：$1.602\times {10}^{-}19\hspace{0.17em}J/eV$

  23量子力学初步（最后一章）

  德布罗意波

  一个具有确定动量p和能量E的微观粒子,必然伴随一个具有确定波长$\lambda$和频率$v$的简谐平面波。这个波称为德布罗意波，德布罗意波的频率和能量、波长和动量之间的关系为：$E=hv$,$\lambda =\frac{h}{p}$,其中h为普朗克常数。
  物质波假设正好可以为玻尔的氢原子理论中断定态和角动量量子化条件提供简单的解释：核外电子的定态正好是其物质波以确定频率振动的驻波。把德布罗意波长带入驻波条件式子，就能得到玻尔模型中核外电子定态的角动量量子化条件。

不确定关系（不考）

薛定谔方程（不考）

波函数

描述粒子运动状态或者物质波的数学表达式称为波函数，用$\psi$表示。波函数的模方$|\psi {|}^2$表示粒子在空间中的分布概率密度。在空间中某处发现粒子的概率和德布罗意波的强度成正比。

波函数的标准化条件

1. 有限
2. 连续
3. 单值

   氢原子的量子力学结论

4. 能量是量子化的，与玻尔的理论一致。
5. 电子轨道角动量是量子化的：$L=\sqrt{l(l+1)}\frac{h}{2\pi }$,其中$l=0,1,2\dots n-1$,称为角量子数或者副量子数。
6. 角动量的空间取向是量子化的：L在z轴上的额投影：$l_z=m_{i}h‘,\mathrm{其}\mathrm{中}\mathrm{磁}\mathrm{量}\mathrm{子}\mathrm{数}{m}_l=0,\pm 1,\pm 2\dots \pm l$ 对于一定量的角动量l,其空间取向的可能性有2l+1种。其中h’为约化普朗克常数，$h^{\prime }=\frac{h}{2\pi }$

   原子的壳层结构

   电子的状态由4个量决定：

• 主量子数n：$n=1,2,3\dots$
• 角量子数l：$l=0,1,2\dots n-1$
• 磁量子数m_l：$m_l=0,\pm 1,\pm 2\dots \pm l$
• 自旋量子数m_s：$m_s=\pm \frac{1}{2}$
• 电子的状态用量子数组$(n,l,m_l,m_s)$来表示，称为电子的量子态。
• 泡利不相容原理：一个原子中的电子的量子态不能完全相同。

  主壳层

  具有相同主量子数n的电子组成的电子集合称为主壳层。主量子数越大，电子的能量越高，电子离原子核越远。

  次壳层

  具有相同主量子数n和角量子数l的电子组成的电子集合称为次壳层。次壳层的电子数为2l+1。

  能级判断

  n+0.7l